Multiplicación de expresiones algebraicas

Multiplicar expresiones algebraicas racionales (con fracciones)

Repaso de conceptos

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan o relacionan letras, números y signos de operaciones de suma, resta, multiplicación y división y también potencias, radicales y logaritmos.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a² + b²

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a⁴ + a³ + a² + a

Multiplicación de radicales: 

Si dos o más expresiones algebraicas están unidas con un signo más (+) o un signo menos (-) cada una recibe el nombre detérmino. Ahora, si dos o más expresiones algebraicas están unidas por una multiplicación cada una recibe el nombre de factor.

Veamos esto:

4ac es una expresión algebraica

(a + b) (a – b) es otra expresión algebraica

si las sumamos

4ac + (a + b)(a – b)

4ac pasa a ser el primer término y (a + b)(a – b) pasa a ser el segundo término.

Aquí vemos que el primer término es una multiplicación entre tres factores: el 4, una a y una c.

Y que el segundo término es una multiplicación entre dos factores: (a + b) por (a – b)

También debemos recordar que un término puede constar de las siguientes partes:

Una parte literal: representada por una o varias letras

Un coeficiente: valor que precede a la parte literal

Un exponente: que indica las veces que se multiplica por sí misma la parte literal .

Por ejemplo, en 

la x es la parte literal

el menos 2 es el coeficiente y

el 3 representa las veces que la parte literal se multiplica por sí misma (potencia).

Recordemos, además, que las expresiones algebraicas se clasifican, según su número de términos, en:

monomio, si tiene un solo término

binomio, si tien dos términos

trinomio si tiene tres, y, en general,

polinomio, si tiene más de dos.

Multiplicar expresiones algebraicas fraccionarias (racionales)

Entrando en materia, al comienzo hablamos de expresiones algebraicas racionales, que son aquellas en las cuales dos expresiones algebraicas forman una fracción (división, cociente o razón).

Por ejemplo:

Para resolver multiplicaciones con expresiones racionales (que involucren fracciones) debemos tener en cuenta lo siguiente:

-  Toda fracción consta de numerador (el número de arriba) y denominador (el número de abajo).

-  Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

- Respetar la regla de los signos para la multiplicación.

- Multiplicar entre sí los coeficientes numéricos y entre sí las letras iguales (la parte literal).

-  Encontrar o visualizar los factores adecuados para realizar una factorización conveniente, que nos permita luego

-  Simplificar o reducir las fracciones a su mínima expresión.

-  Reordenar finalmente el numerador y el denominador respetando la secuencia de números y letras (a, b, c, etc.).
Para intentar una mayor comprensión, resolvamos los ejemplos:

Ejemplo 1:

Resolvemos en único paréntesis que tenemos en la expresión:

Y la multiplicación nos queda así:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

Factorizamos, para poder simplificar hasta donde sea posible:

Simpliicamos, eliminando el binomio que se repite en el numerador y el denominador (en rojo), para quedar el resultado

Otra forma sería partiendo por factorizar el primer numerador (3x – 3), para dejar la multiplicación así:

Simplificamos, eliminando el (x – 1) del numerador de la primera fracción y el (x – 1) del denominador de la segunda,

para quedar:

Simplificamos el resultado

Y obtenemos el mismo resultado.

Este resultado es correcto para cualquier número que sea mayor que 1.

Ejemplo 2

Veamos el camino más corto:

Factorizamos donde es posible hacerlo (marcado en rojo):

Y simplificamos

También pudimos hacerlo más largo:

Multiplicamos los numeradores entre sí  y los denominadores entres sí

Factorizamos el resultado último y simplificamos:

Ejemplo 3

Factorizamos lo que sea posible factorizar (en rojo):

Ahora podemos simplificar los términos semejantes que haya (en azul):

En seguida, multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador:

y como el  (1)  no se coloca, el resultado final queda

Generalmente se deja expresada la multiplicación, como en este caso del denominador,  el cual queda factorizado.

Se debe anotar que este resultado solo es válido si x es distinto a 3, ya que si x = 3 tendríamos 3 -3 = cero, y sabemos que todo lo multiplicado por cero es igual a cero.

Ejemplo 4

Hay que hacer notar que el resultado solo es posible siempre que x sea distinto a 1 y a 5.

¿Qué hicimos?

Factorizamos todo lo que se podía factorizar,  simplificamos todo lo que se podía simplificar y multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador (este útimo da uno, que no se coloca). 

plano cartesiano

Plano Cartesiano

Dos ejes perpendiculares entre sí.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.

2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 04_2005

Ejemplo: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).

De modo inverso, este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano.

Ejemplo: Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5).

De lo anterior se concluye que:

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

transformaciones isometricas

La palabra isometría proviene del griego iso (prefijo que significa igual o mismo) y metria (que significa medir). Por ello, una definición adecuada para isometría sería igual medida.

Cuadrado simétrico, una construcción isométrica.

Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano aquella transformación  que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura en cuestión y que solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.

Además de relacionarse con la semejanza y la congruencia en las figuras planas, las transformaciones isométricas tienen una estrecha relación con la expresión artística, apoyada en la construcción geométrica (por ejemplo, en las teselaciones).

Por ello, en el aula, el tópico isometría se puede desarrollar en torno a dos aspectos temáticos:

1.- Actividades en torno a la posibilidad de embaldosar superficies planas con figuras geométricas (teselaciones).

2.- Actividades asociadas al diseño, descripción y reconocimiento de transformaciones isométricas

Respecto a la isometría y a las posibilidades de transformaciones de figuras, se pueden describir tres tipos de ejecución: portraslación, por rotación y por simetría (o reflexión).

Cualquiera que sea el método aplicado para realizar una transformación isométrica en un plano es imprescindible trabajar sobre unsistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas bidimensional (en un plano) es un sistema en el cual un punto puede moverse en todas direcciones, manteniéndose siempre en el mismo plano.

El sistema más usado es el sistema de coordenadas rectangular u ortogonal, más conocido como Plano Cartesiano.

Este sistema está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas (eje de las x y eje de las y).

Las coordenadas de un punto determinan dicho punto. Conocidas las coordenadas de ese punto, puede ser localizado en el plano, como en la figura de abajo donde se han localizado los puntos P1 y P2.

Coordenadas para los puntos P1 y P2.

Transformaciones isométricas por Traslación

En una transformación isométrica por traslación se realiza un cambio de posición de la figura en el plano. Es un cambio de lugar, determinado por un vector.

Traslación del punto D a su imagen D’ (vector a = DD’) y traslación de un triángulo.

En general, se llama traslación de vector (v) a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, tal que mm' es igual a v.

Las traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:

La dirección, si es horizontal, vertical un oblicua.

El sentido, derecha, izquierda, arriba y abajo.

Y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuánto se desplazó la figura en una unidad de medida.

Ver: PSU: Geometría, Pregunta 04_2006

Rotación del triángulo, respecto del punto X.

Transformaciones isométricas por Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo; de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación.

Un ángulo

Un sentido de rotación.

Estas transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro.

Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.

Transformaciones isométricas por Simetría

El concepto se simetría se nos presenta de forma natural y nos entrega ejemplos de gran belleza en nuestro entorno.

Simetría en la naturaleza.

Tanto la figura del escarabajo como de la mariposa se ven simétricas, pues si trazamos una línea recta en el centro de cada una, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea.

Sobre la base de estos dos ejemplos, se descubre fácilmente que hay una transformación que hace que la parte izquierda de la figura sea un reflejo de la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

Esto nos lleva a afirmar que Simetría es la correspondencia exacta (un reflejo) en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje de simetría) o un plano.

Definido o conocido el concepto de simetría, podemos agregar que la simetría puede ser central o axial

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 03_2006

Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenezcan a una misma recta.

Simetría central del punto A.	Simetría central del triángulo ABC, respecto del punto O.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

Simetría axial del punto A.	Simetría axial de un triángulo.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 04_2005

La imagen de un objeto reflejada en un espejo plano, es un ejemplo de transformación isométrica: la simetría.